Треугольник Паскаля - это бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.
Свойства треугольника Паскаля:
1) Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.
2) Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.
3) Вдоль второй диагонали
треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения зрения, n-е треугольное число — это сумма первыхнатуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
4) Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
5) Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке - элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.
6) Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.
7) Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.
8) Числа треугольника симметричны вертикальной оси, проходящей через его вершину.
9) Первое и последнее число в строке с номером n равно 1.
10) Второе и предпоследнее числа в строке с номером n равно n.
11) Если вычесть из центрального числа в строке с четным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана
(1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, ...).
12) Сумма чисел n-й строки равна 2n, где n-целое число.
13) В треугольнике k-е число
(при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.
14) В каждой строке треугольника сумма чисел на нечетных местах равна сумме чисел на четных местах.
15) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц, равно сумме двух соседних в предыдущей строке.
16) Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
17) Вторые ряды, параллельные сторонам треугольника состоят из натуральных чисел, идущих по порядку.
18) Все числа в n-строке, кроме единиц, делятся на число n, если n является простым числом (следствие теоремы Люка).
19) Каждое число треугольника равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
20) Треугольник Блез Паскаля бесконечен.
Варианты изображения треугольника Паскаля:
Ас-Самав,ал «Блестящая книга о науке арифметике» (1172)
Чжу Шицзе «Яшмовое зеркало
четырех элементов» (1303)
Блез Паскаль «Трактат об арифметическом треугольнике» (1654)
Масуд аль-Каши. «Ключ к арифметике»
(1427 г.)
Я.Бернулли. «Искусство предположений». (1713) Н.Тарталья “Общий трактат о числе и мере” (1550-1560)
Энциклопедия для детей. Математика, том 11, «Аванта +», стр.260
Дополнительные видео-ресурсы:
Источники:
Блез Паскаль - биография математика, открытия (biographe.ru)
В.А. Успенский. Треугольник Паскаля., М., «Наука», 1972 г. стр.19-21
Энциклопедия для детей. Математика, том 11, «Аванта +», стр.259-260
Г.И.Глейзер. История математики в школе. М., «Просвещение», 1964 г., стр.222-225
Г.И.Глейзер. История математики в школе. М., «Просвещение», 1983, стр. 214-215
Энциклопедический словарь юного математика, М., «Педагогика», 1989 г., стр.231-232